Design & media
数学教师的备课工具：把一节数学课的概念建构路径、例题示范与变式训练排成可上的教案。当老师说"这个数学概念怎么讲""数学教案怎么写""变式训练怎么设计""数学例题怎么选""数学概念怎么引入""学生这个数学概念总是混"时，建议激活此SKILL。核心工作流：概念建构四步（情境引入/抽象概括/应用辨析/体系化）→例题示范→变式训练→课堂小结→错例档案，输出对齐 2022 版课标核心素养与四级结果目标。不处理：试卷与双向细目表（转 xiaozhi-teach-math-exam-designer）、班级错因统计与干预（转 xiaozhi-teach-math-error-analyzer）、非数学学科教案（转 xiaozhi-teach-lesson-planner）。
数学教师的备课工具：把一节数学课的概念建构路径、例题示范与变式训练排成可上的教案。当老师说"这个数学概念怎么讲""数学教案怎么写""变式训练怎么设计""数学例题怎么选""数学概念怎么引入""学生这个数学概念总是混"时，建议激活此SKILL。核心工作流：概念建构四步（情境引入/抽象概括/应用辨析/体系化）→例题示范→变式训练→课堂小结→错例档案，输出对齐 2022 版课标核心素养与四级结果目标。不处理：试卷与双向细目表（转 xiaozhi-teach-math-exam-designer）、班级错因统计与干预（转 xiaozhi-teach-math-error-analyzer）、非数学学科教案（转 xiaozhi-teach-lesson-planner）。
一句话定位： 数学不是教学生"记住公式"，而是教学生"用公式思考"——概念建构是核心。
关于"AI 备课"边界： 本 SKILL 输出教案框架与概念建构路径；不代替老师备课，不输出"标准答案"。
关于"题目版权"边界： 题目必须标注 copyrightStatus（教材原题/改编/自有/CC 协议）；不复制未授权教辅题库。
关于"AI 讲题"边界： 本 SKILL 不替代老师讲题；只提供思路引导框架和变式训练设计。
数学教学常见的三个误区：
误区① 概念=背诵：把概念当定义背诵，学员记不住、
不会用。考完就忘。
误区② 讲题=念答案：老师在黑板上讲一遍，学员抄一遍，
学员没有"自己思考"的过程。
误区③ 训练=刷题：只追求"量"，不讲方法、
不讲变式、不讲关联。
本 SKILL 要解决的是：
| 触发场景 | 示例语句 |
|---|---|
| 概念怎么讲 | "这个概念怎么讲" |
| 教案设计 | "教案怎么写" |
| 学员不会做题 | "学员不会做题" |
| 数学思维 | "数学思维怎么教" |
| 概念引入 | "概念怎么引入" |
| 变式训练 | "变式训练怎么设计" |
| 例题选择 | "例题怎么选" |
| 错例分析 | "学员错在哪里" |
┌──────────────────────────┐
│ ① 概念建构 │
│ 情境/变式/对比 │
└────────────┬─────────────┘
↓
┌──────────────────────────┐
│ ② 例题示范 │
│ 思路/步骤/易错 │
└────────────┬─────────────┘
↓
┌──────────────────────────┐
│ ③ 变式训练 │
│ 一题多解/多题一解/换条件 │
└────────────┬─────────────┘
↓
┌──────────────────────────┐
│ ④ 课堂小结 │
│ 结构图/口诀/反思 │
└────────────┬─────────────┘
↓
┌──────────────────────────┐
│ ⑤ 错例档案 │
│ → 学员档案 │
└────────────┬─────────────┘
↓
┌──────────────────────────┐
│ ⑥ 写回 student-analyzer │
│ 数学思维维度 │
└──────────────────────────┘
┌──────────┬────────────────────────┬──────────────┐
│ 步 │ 描述 │ 关键问题 │
├──────────┼────────────────────────┼──────────────┤
│ ① 情境 │ 引入真实/模拟情境 │ 学员看到了什么│
│ ② 抽象 │ 提取共同特征 │ 什么是一样的 │
│ ③ 命名 │ 给概念命名 │ 叫什么 │
│ ④ 辨析 │ 区别于其他概念 │ 不是什么的 │
└──────────┴────────────────────────┴──────────────┘
① 生活情境
· 学员生活中有真实体验
· 例：分数（切披萨）、小数（钱）
② 历史情境
· 数学史故事
· 例：负数（古代记账）、圆周率（祖冲之）
③ 游戏情境
· 让学员玩中学
· 例：找规律（数字接龙）
④ 问题情境
· 学员需要解决的具体问题
· 例：行程问题（相遇追及）
⑤ 反例情境
· 学员"试错"中理解
· 例：平行（看上去平但不平行）
■ 容易混淆的概念配对
· 平方/立方
· 锐角/钝角
· 奇数/偶数
· 质数/合数
· 因数/倍数
· 等腰/等边
· 半径/直径
· 周长/面积
· 速度/时间/路程
· 比率/比例
· 概率/统计
■ 辨析三问
· 这两个概念的共同点？
· 这两个概念的差异点？
· 怎么区分它们？
📎 完整模板见
references/concept-build-sample.md（概念建构填写样板：概念/情境引入/抽象/命名/辨析/理解检查）
① 思路
· 怎么想到的？
· 关键是什么？
② 步骤
· 第一步：X
· 第二步：X
· ...
③ 易错
· 学员会错在哪里？
· 怎么避免？
■ "出声思维"
· 老师边讲边"出声"
· "我看到 X，所以想到 Y..."
■ "回溯法"
· 从问题倒推
· "要解 X，需要先知道 Y..."
■ "类比法"
· 联系学员已知
· "我们学过的 X 和这题有什么相同？"
■ "图示法"
· 把抽象变形象
· 线段图/示意图/坐标图
■ "假设法"
· 先假设一个简单值
· 看看会发生什么
📎 完整模板见
references/example-demo-sample.md（例题示范填写样板：题目/思路/步骤/易错提醒/一题多解）
┌──────────┬────────────────────────┬──────────────┐
│ 类型 │ 描述 │ 训练目标 │
├──────────┼────────────────────────┼──────────────┤
│ 一题多解 │ 一道题多种解法 │ 思维灵活性 │
│ 多题一解 │ 多道题同一种方法 │ 方法识别 │
│ 变条件 │ 改变题目条件/问题 │ 思维深度 │
└──────────┴────────────────────────┴──────────────┘
■ 设计原则
· 解法之间有差异
· 解法有不同适用范围
· 不为了多解而多解
■ 教学法
· 老师先示范 2 种解法
· 学员尝试第 3 种
· 小组讨论"哪种最好"
■ 设计原则
· 题目的"形"不同
· 核心方法相同
· 难度梯度合理
■ 教学法
· 学员做 3-5 道题
· 找出"共同点"
· 总结方法
■ 改条件
· 把整数改成小数
· 把一个条件去掉
· 加一个条件
■ 改问题
· 把"求 X"改成"判断 X 是否..."
■ 改情境
· 把"鸡兔同笼"改成"鸡兔同笼 2.0"
📎 完整模板见
references/variation-training-sample.md（变式训练填写样板：基础题 + 一题多解/多题一解/变条件三组变式）
┌──────────┬────────────────────────┐
│ 形式 │ 描述 │
├──────────┼────────────────────────┤
│ 结构图 │ 概念/方法的逻辑结构 │
│ 口诀 │ 朗朗上口的关键句 │
│ 反思 │ 学员自问 3 个问题 │
└──────────┴────────────────────────┘
┌──────────────────────┐
│ 本节核心概念 │
│ [X] │
└──────────┬───────────┘
│
┌───────┴───────┐
↓ ↓
定义 关键
[X] [X]
│ │
↓ ↓
性质 例子
[X] [X]
· 我今天学了什么？（What）
· 我怎么用？（How）
· 我能用它解决新问题吗？（Transfer）
┌──────────┬────────────────────────┐
│ 错因 │ 描述 │
├──────────┼────────────────────────┤
│ 概念模糊 │ 没理解概念 │
│ 规则错误 │ 公式/规则记错 │
│ 审题错误 │ 漏看条件/看错问题 │
│ 策略错误 │ 方法选择不当 │
│ 计算错误 │ 算错 │
│ 粗心大意 │ 注意力不集中 │
│ 知识漏洞 │ 缺前置知识 │
└──────────┴────────────────────────┘
📎 完整模板见
references/error-case-file-sample.md（错例档案填写样板：错题/错因/错因溯源/改进措施，学员用化名）
┌────────────────────────┐
│ xiaozhi-teach- │
│ lesson-planner │
│ （数学课嵌入教案） │
└───────────┬────────────┘
│
↓
┌────────────────────────┐
│ 课堂（数学教学） │
└───────────┬────────────┘
│
↓
┌────────────────────────┐
│ xiaozhi-teach- │
│ math-lesson-planner │
│ （本 SKILL） │
└───────────┬────────────┘
│
┌─────────────────┼─────────────────┐
↓ ↓ ↓
student-analyzer resource-library parent-communication
（数学思维维度） （错例入库） （数学进步反馈）
读：
lessonPlan.concept → 概念信息
studentAnalyzer.weaknessRank → 弱项
写：
mathLesson.concept → 概念建构路径
mathLesson.example → 例题示范
mathLesson.variation → 变式训练
mathLesson.errorPattern → 错例分析
→ student-analyzer 接收
→ resource-library 接收
✅ 错例档案可用化名
✅ 学员数学能力档案用化名
❌ 禁止：公开"某学员的错题"
❌ 禁止：未授权复制教辅题库
✅ 题目可标注 copyrightStatus
| ✅ 应该做 | ❌ 不能做 |
|---|---|
| 概念建构（情境/抽象/命名/辨析） | 概念=背诵定义 |
| 例题有思路/步骤/易错 | 讲题=念答案 |
| 变式训练（多解/多题/变条件） | 训练=刷题 |
| 课堂小结（结构图/口诀/反思） | 一讲到底 |
| 错例档案累积 | 错题不复盘 |
| 学员真实姓名不公开 | 公开批评学员错题 |
数学教案设计
<── xiaozhi-teach-lesson-planner（数学课嵌入教案）
<── xiaozhi-teach-student-analyzer（学情/弱项）
──→ xiaozhi-teach-student-analyzer（数学思维维度）
──→ xiaozhi-teach-resource-library（错例入库）
──→ xiaozhi-teach-parent-communication（数学进步反馈）
──→ 学生端 xiaozhi-math-concept-explainer（学员视角）
禁止行为：
references/concept-build-template.md — 概念建构四步模板（情境/抽象/应用/体系化）references/variation-design.md — 变式训练设计模板（条件/情境/深度）references/error-pattern-rubric.md — 错因分类表（7 类错因 + 教案预防）references/concept-build-sample.md — 概念建构填写样板（概念/情境引入/抽象/命名/辨析/理解检查）references/example-demo-sample.md — 例题示范填写样板（题目/思路/步骤/易错提醒/一题多解）references/variation-training-sample.md — 变式训练填写样板（基础题 + 三组变式）references/error-case-file-sample.md — 错例档案填写样板（错题/错因/溯源/改进措施）💡 小智说： "数学不是一座'山'，是一棵'树'。 概念是根，方法是枝，题目是叶。 学员在数学学习里， 应该是'种树'而不是'摘叶'。"
用 UbD 逆向设计把"经验型备课"变成可观测的教学设计。当老师说"帮我设计一节《一次函数》新课"、"写一份物理教案"、"做一份分层教案"、"帮我设计一节讲评课"、"这节课的提问链草案"时，建议激活此 SKILL。工作流：预期结果 → 评估证据 → 核心素养目标 → 环节时间矩阵 → 提问链草案 → A/B/C 分层。本 SKILL 不出卷、不算学情、不负责课堂实施：命题转 xiaozhi-teach-exam-designer，学情统计转 xiaozhi-teach-student-analyzer，课堂提问与追问的实施转 xiaozhi-teach-classroom-coach。
数学教师的班级错因分析：把作业与试卷的错题变成"下节数学课讲什么"。当老师说"这道数学题错得很多""班级共性错因""哪个数学知识点没掌握""下次数学课讲什么""数学知识点热力图""这个学生数学总错同一类"时，建议激活此SKILL。核心工作流：错题收集 → 阈值触发（错误率>30%的题）+ 抽样 → 错因分类（教师端七类，写入时映射通用四维）→ 知识图谱定位 → 班级/个体画像 → 教学干预建议。不处理：出试卷与双向细目表（转 xiaozhi-teach-math-exam-designer）、教案与概念建构（转 xiaozhi-teach-math-lesson-planner）、作业布置与批改台账（转 xiaozhi-teach-homework-tracker）。
帮初中物理老师做以物理观念为主线的教案：概念建构→规律教学→模型建构→应用训练→课堂小结，含分层与提问链。仅在"初中物理 + 教案设计"两个条件同时成立时建议激活，例如"浮力这节课 45 分钟怎么排""压强的概念怎么引入""欧姆定律用什么演示实验导入""这个物理概念学生总搞混，怎么讲"。实验只做教案里的"实验位"设计，输出一律是需老师复核的草稿；真实的实验布置、器材分配、操作步骤与安全流程转 xiaozhi-teach-physics-experiment-coach。不处理：单道题的讲法与变式（转 xiaozhi-teach-physics-problem-guide）、班级测评命题与试卷分析（转 xiaozhi-teach-exam-designer）、其他学科教案（转对应学科 SKILL）。
数学教师的测评设计：用双向细目表把"凭感觉出数学卷"变成可诊断的命题。仅在老师提出明确的数学命题任务时建议激活，例如"给八年级数学出一份单元测评""做一张数学双向细目表""算这次数学测评的逐题 P/D"；泛泛聊数学、问某题怎么解、问学生近况都不激活。只做四件事：命题蓝图与双向细目表、题目选编与版权标注、题目统计（逐题 P/D 与信度）、经老师逐条确认后的写回。不做：错因归类与个体诊断（转 xiaozhi-teach-math-error-analyzer）、学员分层（转 xiaozhi-teach-student-analyzer）、补救与教学干预（转 xiaozhi-teach-math-lesson-planner）、家长沟通（转 xiaozhi-teach-parent-communication）、非数学学科测评（转 xiaozhi-teach-exam-designer）。
初中数学概念的理解与重建：学生不是卡在某道题，而是卡在"这个数学概念本身没懂"时用。典型触发："这个数学公式我知道但不明白为什么""负负为什么得正""一次函数和正比例有什么区别""几何题我脑子里建不起图形""这两个数学概念我总是混""用生活例子讲讲这个概念"。核心方法：三种解释模型（生活类比 / 图解可视化 / 逐步拆分）+ 几何空间想象训练。不处理：具体某道题怎么做（转 xiaozhi-math-problem-solving-coach）、应用题列式（转 xiaozhi-math-word-problem-coach）、错题收录与统计（转 xiaozhi-correction-notebook）、分层进阶练习（转 xiaozhi-math-gradient-trainer）。
初中数学分层进阶练习：在某个知识点已经会做的前提下，按 5 层难度定位当前练习层级，再一层一层往上练。典型触发："这类数学题我会了，想练更难的""帮我出数学进阶题""数学考试总在难题上卡住""测一下我这个知识点在第几层""帮我生成数学成长日记"。不处理：一道具体题目的当场引导（转 xiaozhi-math-problem-solving-coach）、错题收录与次数统计（转 xiaozhi-correction-notebook）、错因子类型分析（转 xiaozhi-math-error-dna）、概念没建立时的重讲（转 xiaozhi-math-concept-explainer）。每周检测提醒只在学生同意时经 reminder_enqueue 交 IM 提醒，本 SKILL 不自己提醒。